Question

（本小題滿分12分）
2012年3月2日，國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》.其中規(guī)定:居民區(qū)中的PM2.5（PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱可入肺顆粒物）年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米. 某城市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

組別	PM2.5（微克/立方米）	頻數(shù)（天）	頻率
第一組	(0,15]	4	0.1
第二組	(15,30]	12	0.3
第三組	(30,45]	8	0.2
第四組	(45,60]	8	0.2
第三組	(60,75]	4	0.1
第四組	(75,90)	4	0.1

（1）寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫出計算過程）；
（2）求該樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進？說明理由；
（3）將頻率視為概率，對于去年的某2天，記這2天中該居民區(qū)PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（1）眾數(shù)為22.5微克/立方米, 中位數(shù)為37.5微克/立方米．（2）該居民區(qū)的環(huán)境需要改進．
（3）變量的分布列為

	0	1	2

（天）,或（天）.

解析試題分析：（1）眾數(shù)為22.5微克/立方米, 中位數(shù)為37.5微克/立方米．   …………………4分
（2）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為（微克/立方米）．
因為，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，
故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進．       …………………………………………8分
（3）記事件表示“一天PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”，則.
隨機變量的可能取值為0,1,2.且.所以，
所以變量的分布列為

	0	1	2

（天）,或（天）  ……………12分
考點：本題主要考查離散型隨機變量的期望；二項分布。
點評：確定分布列及數(shù)學(xué)期望，計算概率是關(guān)鍵，涉及組合、排列問題，注意公式的正確運用，屬中檔題。