如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為棱BC，B1C1的中點(diǎn)．
（1）求證：直線A1D1∥平面ADC1．
（2）求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（3）設(shè)底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，求二面角C1-AD-C的余弦值．
（1）證明：連接DD1，∵點(diǎn)D1為棱B1C1的中點(diǎn)，
則DD1
∥
.
CC1
∥
.
AA1，所以四邊形AA1D1D為平行四邊形
∴A1D1∥AD．…（3分）
又AD?平面ADC1，A1D1?平面ADC1，
∴A1D1∥平面ADC1…（5分）
（2）證明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵CC1⊥底面ABC，又AD?底面ABC
∴AD⊥CC1…（7分）
∵點(diǎn)D為棱BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，…（8分）
CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，CC1∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC1B1…（9分）
又∵AD?平面ADC1，
∴平面ADC1⊥平面BCC1B1…（10分）
（3）由（1）得AD⊥平面BCC1B1，
∴AD⊥BC，AD⊥C1D
∴∠C1DC為二面角C1-AD-C的平面角…（12分）
又CD=1，CC1=4，∴C1D=
17

在Rt△C1CD中，cos∠C1DC=
CD
C1D
=
1
17
=
17
17

∴二面角C1-AD-C的余弦值為
17
17
．…（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

正方體ABCD-A1B1C1D1中直線A1C1與平面A1BD夾角的余弦值是（　�。�
A．
2
4
B．
2
3
C．
3
3
D．
3
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=BC，且∠BAC=
π
2
，則PA與底面ABC所成角為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知平面四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，且BA=BC=4，DA=DC=2
3
，∠ABC=60°．現(xiàn)沿對(duì)角線AC將三角形DAC翻折，使得平面DAC⊥平面BAC．翻折后：
（Ⅰ）證明：AC⊥BD；
（Ⅱ）記M，N分別為AB，DB的中點(diǎn)．①求二面角N-CM-B大小的余弦值；②求點(diǎn)B到平面CMN的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD是底面邊長(zhǎng)為1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=
2
．
（Ⅰ）求證：PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且∠ABC=120°，M為BC的中點(diǎn)．將此菱形沿對(duì)角線BD折成二面角A-BD-C．
（ I）求證：面AOC⊥面BCD；
（ II）若二面角A-BD-C為60°時(shí)，求直線AM與面AOC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=
1
2
AB=1，將△ADC沿AC折起，使D到D′．若二面角D′-AC-B為60°，則三棱錐D′-ABC的體積為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

二面角α-EF-β的大小為120°，A是它內(nèi)部的一點(diǎn)AB⊥α，AC⊥β，B，C分別為垂足．
（1）求證：平面ABC⊥β；
（2）當(dāng)AB=4cm，AC=6cm，求BC的長(zhǎng)及A到EF的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知二面角α-l-β的大小為60°，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，點(diǎn)B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則CD=______．

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