Question

試證方程x³－6x²＋9＝0在區(qū)間(0，1)內不可能有兩個不同的實根．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：令函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋9， 　　借助計算機或計算器畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， 　　且有f(－2)·f(－1)＜0，f(1)·f(2)＜0， 　　f(5)·f(6)＜0， 　　根據(jù)函數(shù)有零點的判定定理，得函數(shù)f(x)的零點所在的大致區(qū)間為(－2，－1)或(1，2)或(5，6)，而f(x)在區(qū)間(0，1)上無零點，所以方程x3－6x2＋9＝0在區(qū)間(0，1)上無實根． 　　綜上，方程x3－6x2＋9＝0在區(qū)間(0，1)內不可能有兩個不同的實根． 　　 　　這說明假設函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上有零點的話，也只能有一個，也絕不能有兩個，從而證得方程f(x)＝0在區(qū)間(0，1)內不可能有兩個不同的實根．

提示：

思路分析：由于方程的根是相應函數(shù)的零點，所以只需判斷函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋9在區(qū)間(0，1)上零點的個數(shù)是否能有兩個就可以了． 　　思想方法小結：(1)證法一利用轉化思想，把證明問題轉化為求函數(shù)的零點的大致區(qū)間問題，可以化難為易，順利地解決問題． 　　(2)由證法二可以得出：尋求方程的根，轉化為尋求函數(shù)的單調區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間端點處的值的具體情況來確定方程的根的情況．