Question

（本題滿分15分）

已知函數(shù)，是的導函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）

（Ⅰ）解關于的不等式：；

（Ⅱ）若有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當時，無解；當時，解集為；當時，解集為 ；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）          …………………………2分

                           …………………………4分

當時，無解；                                    …………………………5分

當時，解集為；                  …………………………6分

當時，解集為                      …………………………7分

（Ⅱ）方法一：若有兩個極值點，則是方程的兩個根

，顯然,得：        ……………………………9分

令，                       …………………………11分

若時，單調(diào)遞減且，                 …………………………12分

若時，當時，，在上遞減，

當時，，在上遞增,……14分

要使有兩個極值點，需滿足在上有兩個不同解，

得:，即：                               ……………………15分

法二：設， 

則是方程的兩個根，則，    …………………………9分

若時，恒成立，單調(diào)遞減，方程不可能有兩個根……11分

若時，由，得，

當時，，單調(diào)遞增，

當時，  單調(diào)遞減      …………………………13分

，得       …………………………15分

考點：一元二次含參不等式的解法。利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值。

點評：（1）解一元二次含參不等式的主要思想是分類討論，常討論的有二次項系數(shù)、兩根的大小和判別式?；（2）第二問方法一的關鍵是把問題轉化為“有兩個不同解”，根據(jù)構造函數(shù)來求。