Question

已知過(guò)點(diǎn)A(－1,0)的動(dòng)直線(xiàn)l與圓C：x²＋(y－3)²＝4相交于P，Q兩點(diǎn)，M是PQ中點(diǎn)，l與直線(xiàn)m：x＋3y＋6＝0相交于N.

(1)求證：當(dāng)l與m垂直時(shí)，l必過(guò)圓心C；

(2)當(dāng)PQ＝2時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；

(3)探索是否與直線(xiàn)l的傾斜角有關(guān)？若無(wú)關(guān)，請(qǐng)求出其值；若有關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)∵l與m垂直，且k_m＝－，∴k_l＝3，故直線(xiàn)l的方程為y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.

∵圓心坐標(biāo)(0,3)滿(mǎn)足直線(xiàn)l的方程，

∴當(dāng)l與m垂直時(shí)，l必過(guò)圓心C.

(2)①當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，易知x＝－1符合題意.

②當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，

∵PQ＝2，∴CM＝＝1，

則由CM＝，得k＝，

∴直線(xiàn)l：4x－3y＋4＝0.

故直線(xiàn)l的方程為x＝－1或4x－3y＋4＝0.

(3)∵CM⊥MN，∴＝()·

＝·＋·＝·.

①當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，易得N(－1，－)，

則＝(0，－)，

又＝(1,3)，∴·＝·＝－5.

②當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x＋1)，

則由，得N(，)，

則＝(，)，

∴·＝·＝＋＝－5.

綜上所述，·與直線(xiàn)l的傾斜角無(wú)關(guān)，且·＝－5.