【題目】已知函數(shù)

1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大、最小值;

2)求證:在區(qū)間上,函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方.

【答案】1)由已知,

時,

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)在區(qū)間上的最大、最小值分別為,,

所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為;

2)證明:設(shè),則

因為,所以,

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,

,所以在區(qū)間上,,即,

所以在區(qū)間上函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的下方.

【解析】

(1)求得函數(shù)的導數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)性,進而求解函數(shù)的最值;

(2)由題意,設(shè),求得,利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值,即作出證明

解:(1)f(x)=x2+ln xf′(x)=x+

x[1,e]時,f′(x)>0,

所以f(x)max=f(e)=e2+1.

f(x)min=f(1)=.

(2)設(shè)F(x)=x2+ln x-x3,

F′(x)=x+-2x2,

x[1,+∞)時,F′(x)<0,

F(1)=-<0x[1,+∞)F(x)<0,

所以x2+ln x<x3,得證.

練習冊系列答案
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