Question

已知函數(shù)f（x）=2log_a（x+1）-log_a（1-x）其中a＞0，且a≠1，
（1）求函數(shù)y=f（x）的定義域；
（2）當(dāng)0＜a＜1時，解關(guān)于x的不等式f（x）≥0；
（3）當(dāng)a＞1，且x∈[0，1）時，總有f（x）≥m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

x+1＞0 1-x＞0

可得x∈（-1，1），從而得到函數(shù)f（x）的定義域．
（2）由f（x）≥0得2log_a（x+1）≥log_a（1-x），解對數(shù)不等式可得

x+1＞0 1-x＞0 (x+1)2≤1-x

，由此求得它的解集．
（3）設(shè)u=

(x+1)2

1-x

=(1-x)+

4

1-x

-4，令t=1-x，t∈（0，1]，利用單調(diào)性求得u的最小值為1，可得loga

(x+1)2

1-x

的最小值為0，從而求得m的取值范圍．

解答：解：（1）由

x+1＞0 1-x＞0

 可得x∈（-1，1），故函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）．…（3分）
（2）由f（x）≥0得2log_a（x+1）≥log_a（1-x），
∵0＜a＜1，∴

x+1＞0 1-x＞0 (x+1)2≤1-x

，∴x∈（-1，0]． …（8分）
（3）由題意知：a＞1且x∈[0，1）時，loga

(x+1)2

1-x

≥m恒成立．…（9分）
設(shè)u=

(x+1)2

1-x

=(1-x)+

4

1-x

-4，令t=1-x，t∈（0，1]，∴u(t)=t+

4

t

-4t∈(0，1]，…（10分）
設(shè)0＜t₁＜t₂≤1，∵u(t1)-u(t2)=(t1-t2)(1-

4

t1t2

)＞0，∴u（t）在t∈（0，1]上單調(diào)遞減，
∴u（t）的最小值為u(1)=1+

4

1

-4=1．…（12分）
又∵a＞1，∴loga

(x+1)2

1-x

的最小值為0，…（13分）
∴m的取值范圍是m≤0．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，對數(shù)不等式的解法，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．