Question

【題目】設(shè)函數(shù)，函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．

（1）若，都有成立（其中），求的值；

（2）證明：當(dāng)時，；

（3）設(shè)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）求導(dǎo)，利用對應(yīng)項系數(shù)相等求即可即可

（2）證明等價證明，構(gòu)造函數(shù)求最值即可證明

（3）討論，恒成立，轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求最值，證明當(dāng)時不成立，當(dāng)時，利用（2）放縮證明h(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)即可求解，當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，證明不成立即可求解

（1），則

因為，即恒成立（其中），

則，，即，且

（2）當(dāng)時，要證即證，

令，則，

當(dāng)時，，即在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，

當(dāng)時，，即在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，

則當(dāng)時，，即當(dāng)時，，也即，

所以當(dāng)時，

（3）當(dāng)，本題無意義，顯然不成立，

所以不合題意，

當(dāng)時，等價于，

由題設(shè)，此時有，

當(dāng)時，若，則有，此時不成立，

即不成立，所以不合題意，

當(dāng)時，令，

則等價于，即當(dāng)且僅當(dāng)，

，

又由（1）得，即，代入上式得：

，

①當(dāng)時，由（2）知，即，

則

，此時函數(shù)h(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，

則，即恒成立，此時符合題意，

②當(dāng)時，令，則，

又，則，即函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，

即，也即，

則

當(dāng)時，有，即函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以，即，所以不合題意，

綜上可得，所求實數(shù)a的取值范圍為