Question

已知f（x）=x²+（a-3）x+a．
（1）對(duì)于?x∈R，f（x）＞0總成立，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈（-1，2）時(shí)f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于?x∈R，f（x）＞0總成立，等價(jià)于△=（a-3）²-4a＜0，即可求得a的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈（-1，2）時(shí)f（x）＞0恒成立，等價(jià)于x²+（a-3）x+a＞0對(duì)x∈（-1，2）恒成立，即a（x+1）＞3x-x²，進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化為a＞

3x-x2

x+1

=-（x+1）-

4

x+1

+5，利用基本不等式，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）∵對(duì)于?x∈R，f（x）＞0總成立，
∴△=（a-3）²-4a＜0，解得1＜a＜9；
（2）當(dāng)x∈（-1，2）時(shí)f（x）＞0恒成立，等價(jià)于x²+（a-3）x+a＞0對(duì)x∈（-1，2）恒成立，即a（x+1）＞3x-x²，
∵x∈（-1，2），∴x+1∈（0，3）
∴a＞

3x-x2

x+1

=-（x+1）-

4

x+1

+5
∵x+1∈（0，3）時(shí)，（x+1）+

4

x+1

的最小值為4
∴a＞-4+5=1
即a＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問(wèn)題，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，考查基本不等式求最值，屬于中檔題．