Question

如圖，已知橢圓C：（a＞0，b＞0）過點(diǎn)P（），上、下焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，向量．直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)為m（）．

（1）求橢圓C的方程；

（2）求直線l的方程；

（3）記橢圓在直線l下方的部分與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D，若曲線x²﹣2mx+y²+4y+m²﹣4=0與區(qū)域D有公共點(diǎn)，試求m的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：

直線與圓錐曲線的綜合問題；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

分析：

（1）把點(diǎn)B代入橢圓的方程，利用向量垂直，及幾何量之間的關(guān)系，聯(lián)立方程求得a和b，則橢圓的方程可得；

（2）分類討論，利用線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理，可求直線的方程；

（3）把圓的方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓心和半徑，進(jìn)而利用圖象可知只須考慮m＜0的情形．設(shè)出圓與直線的切點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離求得m，進(jìn)而可求得過點(diǎn)G與直線l垂直的直線的方程，把兩直線方程聯(lián)立求得T，因?yàn)閰^(qū)域D內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值與最大值分別為﹣1，2，所以切點(diǎn)T∉D，由圖可知當(dāng)⊙G過點(diǎn)B時(shí)，m取得最小值，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得m的最小值．

解答：

解：（1）∵橢圓C：（a＞0，b＞0）過點(diǎn)P（），∴

∵向量，∴4c²=2+（﹣c）²+2+（﹣c）²，∴c=2

又a²=b²+c²，∴a²=12，b²=4

∴橢圓方程為

（2）①當(dāng)斜率k不存在時(shí)，由于點(diǎn)M不是線段AB的中點(diǎn)，所以不符合要求；

②當(dāng)斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l方程為y+=k（x﹣），代入橢圓方程整理得

（3+k²）x²﹣（k²+3k）x+k²﹣=0

∵線段AB中點(diǎn)為m（），∴=

∴k=1

∴直線l：x﹣y﹣2=0

（3）化簡(jiǎn)曲線方程得：（x﹣m）²+（y+2）²=8，是以（m，﹣2）為圓心，2為半徑的圓．

表示圓心在直線y=﹣2上，半徑為2的動(dòng)圓．

由于要求實(shí)數(shù)m的最小值，由圖可知，只須考慮m＜0的情形．

當(dāng)圓與直線相切時(shí)，，此時(shí)為m=﹣4，圓心（﹣4，﹣2）．

當(dāng)m=﹣4時(shí)，過點(diǎn)G（﹣4，﹣2）與直線l垂直的直線l'的方程為x+y+6=0，

解方程組，得T（﹣2，﹣4）．

因?yàn)閰^(qū)域D內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值與最大值分別為﹣1，2，

所以切點(diǎn)T∉D，由圖可知當(dāng)⊙G過點(diǎn)B時(shí)，m取得最小值，即（﹣1﹣m）²+（﹣3+2）²=8，解得m_min=﹣﹣1．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查橢圓與直線的方程，考查直線與圓錐曲線的綜合問題，同時(shí)考查了知識(shí)的綜合運(yùn)用和數(shù)形結(jié)合的方法的應(yīng)用．