Question

已知復(fù)數(shù)z=a+bi，滿足，z²的實(shí)部為3，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限．
（1）求z、和z+2；
（2）設(shè)z、、z+2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C，試判斷△ABC的形狀，并求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得 a²-b²=3，a²+b²=5，a＞0，b＞0．解得a、b的值，即可求得z、和z+2．
（2）由（1）可得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，可得 和的坐標(biāo)，求得 ＜0，可得∠ABC為鈍角，故三角形ABC為鈍角三角形．
△ABC中，由余弦定理求得cos∠ABC=-，可得sin∠ABC=，再由△ABC的面積為 |BA|•|BC|•sin∠ABC 運(yùn)算求得結(jié)果．
解答：解：（1）由題意可得 a²-b²=3，a²+b²=5，a＞0，b＞0．
解得 ，∴z=2+i，=2-i，z+2=（2+i）+2（2-i）=6-3i．
（2）由（1）可得點(diǎn)A（2，1）、點(diǎn)B（2，-1）、點(diǎn)C（6，-3），∴=（0，2）、=（4，-2），
∴=0-4=-4＜0，∴∠ABC為鈍角，故三角形ABC為鈍角三角形．
△ABC中，由于|AB|=2，|AC|==4，|BC|==2，由余弦定理可得 32=4+20-2×2×2×cos∠ABC，
解得cos∠ABC=-，∴sin∠ABC=，∴△ABC的面積為 |BA|•|BC|•sin∠ABC=8．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．