Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，F是PB的中點．求證：

(1)DF⊥AP.

(2)在線段AD上是否存在點G，使GF⊥平面PBC？若存在，說明G點的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：

（1）取AB的中點E，連結(jié)EF，則PA∥EF.由題意可得DE2＝EF2＋DF2，從而DF⊥EF，結(jié)合EF∥PA，可證得DF⊥PA.（2）猜想當(dāng)G點是AD的中點，滿足GF⊥平面PBC。連PG、BG，可得GF⊥PB，又由條件可得GF⊥BC，從而可證得GF⊥平面PBC，從而得到假設(shè)成立。

試題解析：

(1)取AB的中點E，連結(jié)EF，則PA∥EF.

設(shè)PD＝DC＝a，

易求得DE＝a，FE＝PA＝a，DF＝PB＝a.

由于DE2＝EF2＋DF2，

故DF⊥EF，

又EF∥PA，

∴DF⊥PA.

(2)在線段AD上存在點G，使GF⊥平面PBC，且G點是AD的中點．

取AD的中點G，連接PG、BG，則PG＝BG.

又F為PB的中點，故GF⊥PB.

∵F為PB中點，

∴F點在底面ABCD上的射影為正方形ABCD的中心O，

∴GO為GF在平面ABCD上的射影，

∵GO⊥BC，

∴GF⊥BC，

又BC∩PB=B，

∴GF⊥平面PBC.