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(2013•日照一模)已知長方形ABCD,AB=2
2
,BC=
3
3
.以AB的中點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系xOy.
(I)求以A,B為焦點,且過C,D兩點的橢圓P的標準方程;
(Ⅱ)已知定點E(-1,0),直線y=kx+t與橢圓P交于M、N相異兩點,證明:對作意的t>0,都存在實數k,使得以線段MN為直徑的圓過E點.
分析:(I)設橢圓的標準方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,可得2a=AC+BC=即可得出a,又c=
2
,利用b2=a2-c2即可得出.
(II)把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立即可得到根與系數的關系,再利用向量垂直與數量積的關系即可得出k與t的關系,再利用△>0即可證明.
解答:解:(Ⅰ)由題意可得點A,B,C的坐標分別為(-
2
,0)
,(
2
,0)
(
2
,
3
3
)

設橢圓的標準方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,
則2a=AC+BC=2
3
>2
,∴a=
3

又c=
2

∴b2=a2-c2=1.
∴橢圓的標準方程是
x2
3
+y2=1

(Ⅱ)將y=kx+t代入橢圓方程,得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0,
由直線與橢圓有兩個交點,所以△=(6kt)2-12(1+3k2)(t2-1)>0,解得k2
t2-1
3

設M(x1,y1)、N(x2,y2),則x1+x 2=-
6kt
1+3k2
,x1x2=
3(t2-1)
1+3k2
,
∵以MN為直徑的圓過E點,∴
EM
EN
=0
,即(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,
而y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+tk(x1+x2)+t2,
(k2+1)
3(t2-1)
1+3k2
-(tk+1)
6kt
1+3k2
+t2+1=0
,解得k=
2t2-1
3t

如果k2
t2-1
3
對任意的t>0都成立,則存在k,使得以線段MN為直徑的圓過E點.
(
2t2-1
3t
)2-
t2-1
3
=
(t2-1)2+t2
9t2
>0
,即k2
t2-1
3

∴對任意的t>0,都存在k,使得以線段MN為直徑的圓過E點.
點評:熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立、根與系數的關系、向量垂直與數量積的關系等是解題的關鍵.
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x=-4
x=-4

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3
5
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3
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4

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S1=
1
2
n2+
1
2
n,
S2=
1
3
n3+
1
2
n2+
1
6
n,
S3=
1
4
n4+
1
2
n3+
1
4
n2
,
S4=
1
5
n5+
1
2
n4+
1
3
n3-
1
30
n,
S5=An6+
1
2
n5+
5
12
n4+Bn2
,

可以推測,A-B=
1
4
1
4

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社團 泥塑 剪紙 年畫
人數 320 240 200
為調查社團開展情況,學校社團管理部采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為n的樣本,已知從“剪紙”社團抽取的同學比從“泥塑”社團抽取的同學少2人.
(I)求三個社團分別抽取了多少同學;
(Ⅱ)若從“剪紙”社團抽取的同學中選出2人擔任該社團活動監(jiān)督的職務,已知“剪紙”社團被抽取的同學中有2名女生,求至少有1名女同學被選為監(jiān)督職務的概率.

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