Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=a，其中a∈N^*，an+1=

an 3 ，an為3的倍數(shù) an+1，an不為3的倍數(shù)

，集合A={x|x=a_n，n=1，2，3，…}．
（I）若a=4，寫出集合A中的所有的元素；
（II）若a≤2014，且數(shù)列{a_n}中恰好存在連續(xù)的7項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，求a的所有可能取值構(gòu)成的集合；
（III）求證：1∈A．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=a=4，利用遞推關(guān)系依次求出a₂，a₃，a₅，a₆，a₇，發(fā)現(xiàn)a₆以后的值與前6項(xiàng)中的值重復(fù)出現(xiàn)，由此可知集合A中共有6個(gè)元素；
（Ⅱ）設(shè)出數(shù)列中的一項(xiàng)為a_k，若a_k是3的倍數(shù)，則有ak+1=

1

3

ak；若a_k是被3除余1，由遞推關(guān)系得到ak+3=

1

3

ak+2；若a_k被3除余2，由遞推關(guān)系得到ak+2=

1

3

ak+1．說明構(gòu)成的連續(xù)7項(xiàng)成等比數(shù)列的公比為

1

3

，結(jié)合數(shù)列遞推式得到a_k符合的形式，再保證滿足a_k≤2014即能求出答案；
（Ⅲ）分a_k被3除余1，a_k被3除余2，a_k被3除余0三種情況討論，借助于給出的遞推式得到數(shù)列{a_n}中必存在某一項(xiàng)a_m≤3，然后分別由a_m=1，a_m=2，a_m=3進(jìn)行推證，最終證得1∈A．

解答：（I）解：∵a₁=a=4，∴a₂=a₁+1=5，a₃=a₂+1=6，
a4=

a3

3

=

6

3

=2，a₅=a₄+1=3，a6=

a5

3

=

3

3

=1，
a₇=a₆+1=2，…
∴集合A的所有元素為：4，5，6，2，3，1；
（II）解：不妨設(shè)數(shù)列中的一項(xiàng)為a_k，
如果a_k是3的倍數(shù)，則ak+1=

1

3

ak；
如果a_k是被3除余1，則由遞推關(guān)系可得a_k+2=a_k+2，∴a_k+2是3的倍數(shù)，∴ak+3=

1

3

ak+2；
如果a_k被3除余2，則由遞推關(guān)系可得a_k+1=a_k+1，∴a_k+1是3的倍數(shù)，∴ak+2=

1

3

ak+1．
∴該7項(xiàng)等比數(shù)列的公比為

1

3

．
又∵an∈N*，∴這7項(xiàng)中前6項(xiàng)一定都是3的倍數(shù)，而第7項(xiàng)一定不是3的倍數(shù)（否則構(gòu)成等比數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)數(shù)會(huì)多于7項(xiàng)），
設(shè)第7項(xiàng)為p，則p是被3除余1或余2的正整數(shù)，則可推得ak=p×36．
∵3⁶＜2014＜3⁷，∴ak=36或ak=2×36．
由遞推關(guān)系式可知，在該數(shù)列的前k-1項(xiàng)中，滿足小于2014的各項(xiàng)只有：a_k-1=3⁶-1，或2×3⁶-1，
a_k-2=3⁶-2，或2×3⁶-2，
∴首項(xiàng)a的所有可能取值的集合為：{3⁶，2×3⁶，3⁶-1，2×3⁶-1，3⁶-2，2×3⁶-2}．
（III）證明：若a_k被3除余1，則由已知可得a_k+1=a_k+1，ak+2=ak+2，ak+3=

1

3

(ak+2)；
若a_k被3除余2，則由已知可得a_k+1=a_k+1，ak+2=

1

3

(ak+1)，ak+3≤

1

3

(ak+1)+1；
若a_k被3除余0，則由已知可得ak+1=

1

3

ak，ak+3≤

1

3

ak+2；
∴ak+3≤

1

3

ak+2，
∴ak-ak+3≥ak-(

1

3

ak+2)=

2

3

(ak-3)
∴對(duì)于數(shù)列{a_n}中的任意一項(xiàng)a_k，“若a_k＞3，則a_k＞a_k+3”．
∵ak∈N*，∴a_k-a_k+3≥1．
∴數(shù)列{a_n}中必存在某一項(xiàng)a_m≤3（否則會(huì)與上述結(jié)論矛盾）
若a_m=1，結(jié)論得證．
若a_m=3，則a_m+1=1；若a_m=2，則a_m+1=3，a_m+2=1，
∴1∈A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的遞推式，考查由遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中滲透了周期數(shù)列這一知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生的抽象思維能力，屬中高檔題．