Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，D、E分別為BB₁、AC₁的中點．
（I）證明：ED為異面直線BB₁與AC₁的公垂線；
（II）設(shè)AA1=AC=

2

AB，求二面角A₁-AD-C₁的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)O為AC中點，連接EO，BO，欲證ED為異面直線AC₁與BB₁的公垂線，只需證明ED與直線AC₁與BB₁都垂直且相交，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知ED⊥CC₁，而ED⊥BB₁，即可證得；
（Ⅱ）連接A₁E，作EF⊥AD，垂足為F，連接A₁F，根據(jù)二面角的平面角定義可知∠A₁FE為二面角A₁-AD-C₁的平面角，在三角形A₁FE中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)O為AC中點，連接EO，BO，則EO

∥

.

1

2

C₁C，又C₁C

∥

.

B₁B，所以EO

∥

.

DB，EOBD為平行四邊形，ED∥OB．（2分）
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BO?面ABC，
故BO⊥平面ACC₁A₁，
∴ED⊥平面ACC₁A₁，ED⊥AC₁，ED⊥CC₁，
∴ED⊥BB₁，ED為異面直線AC₁與BB₁的公垂線．（6分）
（Ⅱ）連接A₁E，由AA₁=AC=

2

AB可知，A₁ACC₁為正方形，
∴A₁E⊥AC₁，又由ED⊥平面ACC₁A₁和ED?平面ADC₁知平面
ADC₁⊥平面A₁ACC₁，
∴A₁E⊥平面ADC₁．
作EF⊥AD，垂足為F，連接A₁F，則A₁F⊥AD，∠A₁FE為二面角A₁-AD-C₁的平面角．
不妨設(shè)AA₁=2，則AC=2，AB=

2

，ED=OB=1，EF=

AE×ED

AD

=

2

3

，
tan∠A₁FE=

3

，
∴∠A₁FE=60°．
所以二面角A₁-AD-C₁為60°．（12分）

點評：本題主要考查了異面直線公垂線的證明，二面角的度量，以及空間想象能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．