Question

已知雙曲線C的兩條漸近線都過(guò)原點(diǎn)，且都與以點(diǎn)A(

2

，0) 為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個(gè)定點(diǎn)A₁ 與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程

 

．

Answer 1

分析：設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx，則可求得圓心到直線的距離求得k，進(jìn)而求得點(diǎn)A的關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)，求得雙曲線的a和b，雙曲線方程可得．

解答：解：設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx，即kx-y=0，
依題意知：

| 2 k|

k2+1

=1，則k=±1，
所以漸近線為y=±x
∵A₁ 與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱
∴A₁ 的坐標(biāo)為(0，

2

)
設(shè)所求雙曲線的方程為x²-y²=λ（λ≠0）
代入A₁ (0，

2

)，得λ=-2
所以所求雙曲線的方程為

y2

2

-

x2

2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．圓錐曲線與直線的關(guān)系歷來(lái)是高考的熱點(diǎn)，應(yīng)加強(qiáng)復(fù)習(xí)．