【題目】已知矩形中，，E，F分別為，的中點.沿將矩形折起，使，如圖所示.設(shè)P、Q分別為線段，的中點，連接.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1) 取中點R，連接，,可知中,且,由Q是中點,可得則有且,即四邊形是平行四邊形,則有,即證得平面.

(2) 建立空間直角坐標系,求得半平面的法向量: ,然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)論可求得二面角的余弦值.

（1）取中點R，連接，，

則在中，，且，

又Q是中點，所以，

而且，所以，

所以四邊形是平行四邊形，

所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）在平面內(nèi)作交于點G，以E為原點，，，分別為x，y，x軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則各點坐標為，，，

所以，，

設(shè)平面的一個法向量為，

則即，

取，得，

又平面的一個法向量為，

所以.

因此，二面角的余弦值為

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某省確定從2021年開始，高考采用“”的模式，取消文理分科，即“3”包括語文、數(shù)學、外語，為必考科目；“1”表示從物理、歷史中任選一門；“2”則是從生物、化學、地理、政治中選擇兩門，共計六門考試科目.某高中從高一年級2000名學生（其中女生900人）中，采用分層抽樣的方法抽取名學生進行調(diào)查.

（1）已知抽取的名學生中含男生110人，求的值及抽取到的女生人數(shù)；

（2）學校計劃在高二上學期開設(shè)選修中的“物理”和“歷史”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到的名學生進行問卷調(diào)杳（假定每名學生在這兩個科目中必須洗擇一個科目且只能選擇一個科目）.下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；

性別

選擇物理

選擇歷史

總計

男生

50

女生

30

總計

（3）在（2）的條件下，從抽取的選擇“物理”的學生中按分層抽樣抽取6人，再從這6名學生中抽取2人，對“物理”的選課意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.

附：，其中.

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，則函數(shù)在上的所有零點之和為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】坐標系與參數(shù)方程：在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知點的極坐標為，直線的極坐標方程為，且點在直線上

（Ⅰ）求的值和直線的直角坐標方程及的參數(shù)方程；

（Ⅱ）已知曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），直線與交于兩點，求的值

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求的普通方程和的參數(shù)方程；

（2）若直線與曲線相交于兩點，且的面積為，求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，正三棱柱的所有棱長都為，是的中點，在邊上，.

（1）證明：平面平面；

（2）若是側(cè)面內(nèi)的動點，且平面.

①在答題卡中作出點的軌跡，并說明軌跡的形狀（不需要說明理由）；

②求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.

（1）證明：AB⊥PD.

（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)有兩個零點，，且.

（1）求的取值范圍；

（2）證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，，，，是棱的中點.

（1）求證：平面；

（2）若，點是線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值.

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