Question

橢圓的離心率為，右焦點到直線的距離為，過M（0，-1）的直線l交橢圓于A，B兩點．
（Ⅰ） 求橢圓的方程；
（Ⅱ） 若直線l交x軸于N，，求直線l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)右焦點為（c，0）（c＞0）
∵右焦點到直線的距離為，
∴
∴
∵橢圓的離心率為，
∴
∴
∴
∴橢圓的方程為；
（Ⅱ）設(shè)A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0）
∵，
∴x₂-x₀，y₂）
∴①
易知直線斜率不存在時或斜率為0時①不成立
于是設(shè)直線l的方程為y=kx-1（k≠0）．
與橢圓方程聯(lián)立，消去x可得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0②
∴③④
由①③可得，代入④整理可得：8k⁴+k²-9=0
∴k²=1
此時②為5y²+2y-7=0，判別式大于0
∴直線l的方程為y=±x-1
分析：（Ⅰ）根據(jù)右焦點到直線的距離為，可得，利用橢圓的離心率為，可得，從而可得，，故可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0），利用，可得x₂-x₀，y₂），設(shè)直線l的方程為y=kx-1（k≠0）．與橢圓方程聯(lián)立，消去x可得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0，由此即可求得直線l的方程．
點評：本題重點考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達定理進行解題．