Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-bx+1（a，b∈R），F(x)=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

（1）如果f（1）=0且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0，求F（x）的解析式；
（2）在（1）在條件下，若g（x）=f（x）-kx在區(qū)間[-3，3]是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）已知a＞0且f（x）為偶函數(shù)，如果m+n＞0，求證：F（m）+F（n）＞0．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=0，可得b=a+1，結(jié)合f（x）≥0恒成立，分a=0和a≠0兩種情況討論后可得a，b的值，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)F(x)=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

得到答案．
（2）若g（x）=f（x）-kx在區(qū)間[-3，3]是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)區(qū)間[-3，3]在函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的同一側(cè)，由此構(gòu)造不等式可求出滿足條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）由f（x）為偶函數(shù)可得b=0，進(jìn)而得到F(x)=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0

，根據(jù)a＞0，m+n＞0，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到F（m）+F（n）的取值范圍．

解答：解（1）∵f（1）=0，
∴b=a+1（1分）
∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0恒成立，
即對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有ax²-bx+1≥0恒成立（2分）
當(dāng)a=0時(shí)，b=1，這時(shí)，f（x）=-x+1，它不滿足f（x）≥0恒成立（3分）
當(dāng)a≠0時(shí)，則a＞0且△=（-b）²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0
∴a=1，b=2（4分）
從而f（x）=x²-2x+1，
∴F(x)=

(x-1)2，x＞0 -(x-1)2，x＜0

（5分）
（2）由（1）知f（x）=x²-2x+1
∴g（x）=f（x）-kx=x²-（2+k）x+1=(x-

k+2

2

)2-

1

4

k2-k（6分）
∵g（x）=f（x）-kx在區(qū)間[-3，3]是單調(diào)函數(shù)
∴

k+2

2

≤3或

k+2

2

≥3，
即k≤-8或k≥4
∴k的取值范圍是（-∞，-8]∪[4，+∞）（7分）
（3）∵f（x）是偶函數(shù)，
∴b=0（8分）
故f（x）=ax²+1，
∴F(x)=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0

    （9分）
∵a＞0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0
∵m+n＞0，
∴m，n中至少有一個(gè)正數(shù)，即m，n都是正數(shù)或一個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)
若m，n都是正數(shù)，則F（m）＞0，F(xiàn)（n）＞0，所以F（m）+F（n）＞0（10分）
若m，n一個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)，不妨設(shè)m＞，n＜0，又m+n＞0
則F（m）+F（n）=am²+1-（an²+1）=a（m+n）（m-n）＞0（11分）
綜上可得，F(xiàn)（m）+F（n）＞0．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．