Question

已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，實(shí)軸長(zhǎng)為8，離心率e=

2

，過(guò)雙曲線的弦AB被點(diǎn)P（4，2）平分；
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求弦AB所在直線方程；
（3）求直線AB與漸近線所圍成三角形的面積．

Answer 1

分析：（1）雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1．實(shí)軸長(zhǎng)為8，離心率e=

2

，由此能求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)弦AB所在直線方程為y-2=k（x-4），A，B的坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．k=

y1-y2

x1-x2

，故

y12-y22

16

-

x12-x22

16

=0，

(y1-y2)(y1+y2)

16

-

(x1-x2)(x1+x2)

16

=0，由此能導(dǎo)出弦AB所在直線方程．
（3）等軸雙曲線

y2

16

-

x2

16

=1的漸近線方程為y=±x．直線AB與漸近線所圍成三角形為直角三角形．又漸近線與弦AB所在直線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（6，6），（2，-2），由此能求出直線AB與漸近線所圍成三角形的面積．

解答：解：（1）∵雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，∴設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1；
∵實(shí)軸長(zhǎng)為8，離心率e=

2

，∴a=4，c=4

2

，∴b²=c²-a²=16．
或∵實(shí)軸長(zhǎng)為8，離心率e=

2

，
∴雙曲線為等軸雙曲線，a=b=4．
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

16

-

x2

16

=1．
（2）設(shè)弦AB所在直線方程為y-2=k（x-4），A，B的坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴k=

y1-y2

x1-x2

，

x1+x2

2

=4，

y1+y2

2

=2；
∴

y12 16 - x12 16 =1   y22 16 - x22 16 =1

?

y12-y22

16

-

x12-x22

16

=0?

(y1-y2)(y1+y2)

16

-

(x1-x2)(x1+x2)

16

=0
代入x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
得

(y1-y2)×4

16

-

(x1-x2)×8

16

=0，
∴

y1-y2

x1-x2

×

1

4

-

1

2

=0，
∴

1

4

k-

1

2

=0，
∴k=2；
所以弦AB所在直線方程為y-2=2（x-4），即2x-y-6=0．
（3）等軸雙曲線

y2

16

-

x2

16

=1的漸近線方程為y=±x．
∴直線AB與漸近線所圍成三角形為直角三角形．
又漸近線與弦AB所在直線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（6，6），（2，-2），
∴直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)度分別為6

2

、2

2

；
∴直線AB與漸近線所圍成三角形的面積S=

1

2

×6

2

×2

2

=12．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．