（2012•上海模擬）如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=2，CC1=5，M為棱CC1上一點(diǎn)．
（1）若C1M=
32
，求異面直線A1M和C1D1所成角的正切值；
（2）若C1M=1，試證明：BM⊥平面A1B1M．
分析：（1）連接A1M、B1M，根據(jù)A1B1∥C1D1，得∠B1A1M或其補(bǔ)角即為異面直線A1M和C1D1所成角．Rt△A1B1M中，求出B1M的長，結(jié)合直角三角形中三角函數(shù)定義，算出tan∠B1A1M=
5
2
，即為異面直線A1M和C1D1所成角的正切值；
（2）矩形BB1C1C中，根據(jù)Rt△B1C1M∽R(shí)t△MCB，證出BM⊥B1M，再結(jié)合A1B1⊥BM和線面垂直的判定定理，即可得到BM⊥平面A1B1M．
解答：解：（1）連接A1M、B1M
∵長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1∥C1D1，
∴∠B1A1M或其補(bǔ)角即為異面直線A1M和C1D1所成角
∵A1B1⊥平面BB1C1C，B1M⊆平面BB1C1C，∴A1B1⊥B1M
Rt△B1C1M中，B1M=
B1C12+B1M2
=
5
2

∴Rt△A1B1M中，tan∠B1A1M=
B1M
A 1B1
=
5
2

即異面直線A1M和C1D1所成角的正切值等于
5
2
；
（2）∵Rt△B1C1M中，C1M=1，B1C1=2且Rt△BCM中，CM=4，BC=2
∴
BC
C1M
=
CM
B1C1
=2，結(jié)合∠MC1B1=∠BCM=90°
∴Rt△B1C1M∽R(shí)t△MCB，可得∠BMC=∠MB1C1=90°-∠B1MC1．
∴∠BMC+∠B1MC1=90°，得BM⊥B1M
又∵A1B1⊥平面BB1C1C，BM⊆平面BB1C1C，∴A1B1⊥BM
∵A1B1、B1M是平面A1B1M內(nèi)的相交直線
∴BM⊥平面A1B1M．
點(diǎn)評(píng)：本題在長方體中求異面直線所成角的正切值，并且證明線面垂直，著重考查了長方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角的求法等知識(shí)，屬于中檔題．
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3
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π
π
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1
2
(x2+1)的值域?yàn)?!--BA-->
[
π
6
，
π
2
]
[
π
6
，
π
2
]
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