已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,與在第一和第四象限的交點(diǎn)分別為.
(1)若是邊長(zhǎng)為的正三角形，求拋物線的方程；
(2)若，求橢圓的離心率.

（1）拋物線的方程為；（2）橢圓的離心率.

解析試題分析：（1）先根據(jù)拋物線及橢圓的幾何性質(zhì)得到點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，進(jìn)而由求得點(diǎn)的坐標(biāo)，接著代入拋物線的方程可求得的值，從而可確定拋物線的方程；（2）先根據(jù)確定的橫坐標(biāo)為，進(jìn)而代入橢圓的方程可確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線，從中可得關(guān)系式，另一方面，從而得到，即，只須求解關(guān)于的方程即可得到內(nèi)的解.
試題解析：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，依題意得拋物線的方程為
∵是邊長(zhǎng)為的正三角形，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是
代入拋物線的方程解得，故所求拋物線的方程為
（2）∵，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)是代入橢圓方程解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)是
∵點(diǎn)在拋物線上，∴即
將代入上式整理得：
即，解得
∵，故所求橢圓的離心率.
考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,-1)，B點(diǎn)在直線y = -3上，M點(diǎn)滿足， ，M點(diǎn)的軌跡為曲線C。
（1）求C的方程；
（2）P為C上的動(dòng)點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處得切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，如果弦的長(zhǎng)度.
⑴求的值；
⑵求證：（O為原點(diǎn)）。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知，，，分別是橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，△是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，其外接圓為圓．
（1）求橢圓及圓的方程；
（2）若點(diǎn)是圓劣弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)異于端點(diǎn)，），直線分別交線段，橢圓于點(diǎn)，，直線與交于點(diǎn)．
（�。┣�的最大值；
（ⅱ）試問：..，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，且直線是拋物線的一條切線.
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)P 為橢圓上一點(diǎn)，直線，判斷l(xiāng)與橢圓的位置關(guān)系并給出理由；
（3）過橢圓上一點(diǎn)P作橢圓的切線交直線于點(diǎn)A，試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)，圓C：與橢圓E:有一個(gè)公共點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與圓C相切．

（1）求m的值與橢圓E的方程；
（2）設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的端點(diǎn)分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，弦的垂直平分線與軸相交于點(diǎn).設(shè)弦的中點(diǎn)為，試求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓C1：的右焦點(diǎn)為F，P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求線段PF的中點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線l與橢圓C1相交于點(diǎn)A、D，與曲線C2順次相交于點(diǎn)B、C，當(dāng)時(shí)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓，直線與相交于、兩點(diǎn)，與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）若直線的方程為，求外接圓的方程；
（2）判斷是否存在直線，使得、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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