Question

A、B是拋物線C：y²=2px（p＞0）上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，直線AB不垂直于x軸且交x軸于點(diǎn)D．
（1）若D與F重合，且直線AB的傾斜角為

π

4

，求證：

OA • OB

p2

是常數(shù)（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（2）若|AF|+|BF|=8，線段AB的垂直平分線恒過定點(diǎn)Q（6，0），求拋物線C的方程．

Answer 1

分析：（1）由題知：F(

p

2

，0)，直線AB的斜率為1，直線AB的方程為y=x-

p

2

，聯(lián)立

y=x- p 2 y2=2px

，得：y²-2py-p²=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理能夠求出

OA • OB

p2

是常數(shù)．
（2）由拋物線的定義，知：|AF|+|BF|=x1+

p

2

+x2+

p

2

=x1+x2+p=8，所以x₁+x₂=8-p．由點(diǎn)Q（6，0）在線段AB的垂直平分線上，知|QA|=|QB|，由此能求出拋物線的方程．

解答：解：（1）由題知：F(

p

2

，0)，直線AB的斜率為1
故直線AB的方程為y=x-

p

2

…（1分）
聯(lián)立

y=x- p 2 y2=2px

，得：y²-2py-p²=0…（2分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y1+y2=2p y1y2=-p2

∴x1x2=

y12

2p

•

y22

2p

=

(y1y2)2

4p2

=

(-p2)2

4p2

=

p2

4

…（4分）
∴

OA • OB

p2

=

x1x2+y1y2

p2

=

p2 4 -p2

p2

=-

3

4

故：

OA • OB

p2

是常數(shù)        …（6分）
（2）由拋物線的定義，易知：|AF|+|BF|=x1+

p

2

+x2+

p

2

=x1+x2+p=8
∴x₁+x₂=8-p…（7分）
∵點(diǎn)Q（6，0）在線段AB的垂直平分線上∴|QA|=|QB|
即：（x₁-6）²+y₁²=（x₂-6）²+y₂²…（8分）
又y₁²=2px₁，y₂²=2px₂∴（x₁-6）²+2px₁=（x₂-6）²+2px₂
整理得：（x₁-x₂）（x₁+x₂-12+2p）=0…（10分）
∵x₁≠x₂∴x₁+x₂-12+2p=0即：x₁+x₂=12-2p=8-p
解得：p=4∴拋物線的方程為y²=8x…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．