Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點

（I）求證：平面BCD；[來源:Zxxk.Com]

（II）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；

（III）求點E到平面ACD的距離。

 

Answer 1

【答案】

（I）證明：見解析；（II）（III）點E到平面ACD的距離為

【解析】

試題分析：（I）欲證AO⊥平面BCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AO與平面BCD內(nèi)兩相交直線垂直，而CO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，滿足定理；

（II）以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，異面直線AB與CD的向量坐標，求出兩向量的夾角即可；

（III）求出平面ACD的法向量，點E到平面ACD的距離轉化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可．

解：（I）證明：連結OC

在中，由已知可得

而      即

    平面

（II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知

直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角

在中，

是直角斜邊AC上的中線，  

（III）解：設點E到平面ACD的距離為

    在中，

     而

  點E到平面ACD的距離為

考點：本題主要考查了直線與平面的位置關系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．

點評：解決該試題的關鍵是能對于空間中點線面的位置關系的研究，既可以運用幾何方法來證明，也可以建立直角坐標系，借助于向量來得到。