Question

【題目】若F1 ， F2是橢圓C： + =1（0＜m＜9）的兩個焦點，橢圓上存在一點P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點M． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點（0， ）的直線l與橢圓C交于兩點A、B，線段AB的中垂線l1交x軸于點N，R是線段AN的中點，求直線l1與直線BR的交點E的軌跡方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵0＜m＜9，∴a=3，b= ，不妨設橢圓的下焦點F1 ， 設線段PF1的中點為：M； 由題意，OM⊥PF1 ， 又OM=b，OM是△PF1F2的中位線，
∴|PF2|=2b，
由橢圓定義，|PF1|=2a﹣2b=6﹣2b．∴ =3﹣b，
在Rt△OMF1中： ，
∴c2=b2+（3﹣b）2 ， 又c2=a2﹣b2=9﹣b2 ． ，
∴b2+（3﹣b）2=9﹣b2交點b=0（舍去）或b=2，∴m=b2=4．
∴橢圓C的方程： + =1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）橢圓C的方程： + =1．
上焦點坐標（0， ）．直線l的斜率k必存在．
設A（x1 ， y1）B（x2 ， y2），弦AB的中點Q（x0 ， y0），
由 ，可得4（y1+y2）（y1﹣y2）=﹣9（x1+x2）（x1﹣x2），
∴k= =﹣ =﹣ （y0≠0）
①當x0≠0時，k=kAB= ∴k=- = 9x02+4y02﹣4 y0=0，
又l1：y﹣y0= ，∴N（ ），
連結(jié)BN，則E為△ABN的重心，設E（x，y），
則 ，
∴ 代入9x02+4y02﹣4 y0=0可得：48x2+3y2﹣2 ，（y≠0）．
②當x0=0時，l：y= ，N（0，0），E（0， ）也適合上式，
綜上所述，點E的軌跡方程為：48x2+3y2﹣2 ，（y≠0）．

【解析】（Ⅰ）求出a=3，b= ，設橢圓的下焦點F1 ， 設線段PF1的中點為：M；由題意，OM⊥PF1 ， 又OM=b，OM是△PF1F2的中位線，由橢圓定義，在Rt△OMF1中的勾股定理，求出b=2，得到m．然后求解橢圓C的方程． （Ⅱ）上焦點坐標（0， ）．直線l的斜率k必存在．設A（x1 ， y1）B（x2 ， y2），弦AB的中點Q（x0 ， y0），利用平方差法得到AB的斜率，通過①當x0≠0時，k=kAB= ，推出9x02+4y02﹣4 y0=0，連結(jié)BN，則E為△ABN的重心，設E（x，y），利用重心坐標公式，推出 代入9x02+4y02﹣4 y0=0軌跡方程②當x0=0時，驗證即可．