Question

（本題滿分12分）

為了解某年段1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）;……;第五組[17，18].按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數(shù)為8.

（1）將頻率當作概率，請估計該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數(shù)；

（2）求調查中隨機抽取了多少個學生的百米成績；

（3）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率.

 

Answer 1

【答案】

（1）320人；

（2）50個學生；

（3）

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知每個區(qū)間上對應矩形的面積就是這個區(qū)間上的頻率.據(jù)此先求出百米成績在[16,17)內的頻率,進而可確定此區(qū)間上的人數(shù).

（2）根據(jù)前三組的頻率比再結合各組上對應矩形的面積和為1,可求出前三組每組對應的頻率，從而可求出抽取的學生數(shù).

（3）本小題屬于古典概型概率問題，可以先求出第一組的學生數(shù)，和第五組的學生數(shù)，然后求出總的基本事件的個數(shù)，再求出兩個成績的差的絕對值大于 1秒包含的基本事件的個數(shù)，再利用古典概型概率公式計算即可.

解：（1）百米成績在[16,17)內的頻率為0.321=0.32. 0.321000=320

∴估計該年段學生中百米成績在[16,17)內的人數(shù)為320人.   ……2分

（2）設圖中從左到右前3個組的頻率分別為3x，8x ，19x 依題意，得

3x+8x+19x+0.321+0.081=1 ，∴x=0.02     ……………………4分

設調查中隨機抽取了n 個學生的百米成績，則    ∴n=50

∴調查中隨機抽取了50個學生的百米成績.     ………………6分

（3）百米成績在第一組的學生數(shù)有30.02150=3，記他們的成績?yōu)閍，b，c

百米成績在第五組的學生數(shù)有0.08150= 4，記他們的成績?yōu)閙，n，p，q

則從第一、五組中隨機取出兩個成績包含的基本事件有

{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{

c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q}，共21個          ……9分

其中滿足成績的差的絕對值大于1秒所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q}，{b,m},{b,n},{b,p},{b,q}，{c,m},{c,n},{c,p},{c,q}，共12個，……10分

所以P= 

答：兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率為       ……12分