Question

(本題滿分12分)如圖所示，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，底面，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成的角；

（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明見解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】

解法一：（Ⅰ）設(shè)與交點(diǎn)為，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

則，∴，∴，∴，

又∵，∴，

又∵，∴，

∴，∴

又∵底面，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面（4分）

（Ⅱ）連結(jié)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

則由（Ⅰ）知平面平面，

且是交線，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，

得平面，從而即

為直線與平面所成的角.

在中，，

在中，

. 所以有，

即直線與平面所成的角為（8分）

（Ⅲ）由于，所以可知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的，即. 在中，，

從而點(diǎn)到平面的距離等于（12分）

解法二：如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為

，，，.

（Ⅰ）由于，，

，

所以，

，

所以，

而，所以平面，∵平面，

∴平面平面（4分）

（Ⅱ）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，

   由于，，所以有

，

令，則，即，

再設(shè)直線與平面所成的角為，而，

所以，

∴，因此直線與平面所成的角為（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知是平面的一個(gè)法向量，而，

所以點(diǎn)到平面的距離為（12分）