Question

（本小題共14分）
在單調(diào)遞增數(shù)列中，，不等式對任意都成立.
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）判斷數(shù)列能否為等比數(shù)列？說明理由；
（Ⅲ）設(shè)，，求證：對任意的，.

Answer 1

(1) (2) 用反證法證明：假設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列, 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005227753457.png" style="vertical-align:middle;" />單調(diào)遞增，所以.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005227815503.png" style="vertical-align:middle;" />，都成立,從而加以證明。
(3)通過前幾項(xiàng)歸納猜想，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

試題分析：（Ⅰ）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005227753457.png" style="vertical-align:middle;" />是單調(diào)遞增數(shù)列，
所以，.
令，，，
所以.                  ………………4分 
（Ⅱ）證明：數(shù)列不能為等比數(shù)列.
用反證法證明：
假設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005227753457.png" style="vertical-align:middle;" />單調(diào)遞增，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005227815503.png" style="vertical-align:middle;" />，都成立.
所以，  ①
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005228018386.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，使得當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005228673548.png" style="vertical-align:middle;" />.
所以，當(dāng)時(shí)，，與①矛盾，故假設(shè)不成立.………9分
（Ⅲ）證明：觀察： ，，，…，猜想：.
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)時(shí)，成立；
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立；
當(dāng)時(shí)，
 
所以.
根據(jù)（1）（2）可知，對任意，都有，即.
由已知得，.
所以.
所以當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005229266585.png" style="vertical-align:middle;" />.
所以對任意，.
對任意，存在，使得，
因?yàn)閿?shù)列{}單調(diào)遞增，
所以，.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005229125556.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以.                 ………………14分
點(diǎn)評：解決數(shù)列的單調(diào)性問題，要根據(jù)定義法來說明，同時(shí)要對于正面證明比較難的試題，要正難則反，屬于中檔題。