試題分析:(Ⅰ)解:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005227753457.png" style="vertical-align:middle;" />是單調(diào)遞增數(shù)列,
所以

,

.
令

,


,

,
所以

. ………………4分
(Ⅱ)證明:數(shù)列

不能為等比數(shù)列.
用反證法證明:
假設(shè)數(shù)列

是公比為

的等比數(shù)列,

,

.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005227753457.png" style="vertical-align:middle;" />單調(diào)遞增,所以

.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005227815503.png" style="vertical-align:middle;" />,


都成立.
所以

,


①
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005228018386.png" style="vertical-align:middle;" />,所以


,使得當(dāng)

時(shí),

.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005228673548.png" style="vertical-align:middle;" />

.
所以


,當(dāng)

時(shí),

,與①矛盾,故假設(shè)不成立.………9分
(Ⅲ)證明:觀察:

,


,


,…,猜想:

.
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(1)當(dāng)

時(shí),


成立;
(2)假設(shè)當(dāng)

時(shí),

成立;
當(dāng)

時(shí),






所以

.
根據(jù)(1)(2)可知,對任意

,都有

,即

.
由已知得,

.
所以


.
所以當(dāng)

時(shí),




.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005229266585.png" style="vertical-align:middle;" />.
所以對任意


,

.
對任意


,存在


,使得

,
因?yàn)閿?shù)列{

}單調(diào)遞增,
所以

,

.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005229125556.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以

. ………………14分
點(diǎn)評:解決數(shù)列的單調(diào)性問題,要根據(jù)定義法來說明,同時(shí)要對于正面證明比較難的試題,要正難則反,屬于中檔題。