Question

利用導數求和

(1)S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1(x≠0,n∈N^*)

(2)S_n=C+2C+3C+…+nC,(n∈N^*)

Answer 1

(1) S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1=

 (2) S_n=C+2C+…+nC=n·2^n－1

解析:

(1)當x=1時，S_n=1+2+3+…+n=n(n+1);

當x≠1時，

∵x+x²+x³+…+xⁿ=,

兩邊都是關于x的函數，求導得

(x+x²+x³+…+xⁿ)′=()′

即S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1=

(2)∵(1+x)ⁿ=1+Cx+Cx²+…+Cxⁿ,

兩邊都是關于x的可導函數，求導得

n(1+x)^n－1=C+2Cx+3Cx²+…+nCx^n－1,

令x=1得，n·2^n－1=C+2C+3C+…+nC,

即S_n=C+2C+…+nC=n·2^n－1。