【題目】已知函數(shù)(其中),若對任意的,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是________________.
【答案】
【解析】
判斷函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),且是增函數(shù);把f(x2+2)+f(﹣2ax)≥0恒成立化為x2+2≥2ax恒成立,設(shè)g(x)=x2﹣2ax+2,利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),即可求出實數(shù)a的取值范圍.
函數(shù)(其中e≈2.718),x∈R;
且f(﹣x)=e﹣x﹣ex+ln(﹣x+)=﹣(ex﹣e﹣x)﹣ln(x+)=﹣f(x),
∴f(x)是R上的奇函數(shù),
又f′(x)=ex+e﹣x+>0恒成立,
∴f(x)是定義域R上的單調(diào)增函數(shù);
若對任意的x∈[﹣1,2],f(x2+2)+f(﹣2ax)≥0恒成立,
∴f(x2+2)≥﹣f(﹣2ax)恒成立,
∴f(x2+2)≥f(2ax)恒成立,
∴x2+2≥2ax恒成立,
即x2﹣2ax+2≥0在x∈[﹣1,2]上恒成立;
設(shè)g(x)=x2﹣2ax+2,其對稱軸為x=a,且開口向上;
應(yīng)滿足或或;
解得﹣≤a<-1或或﹣1≤a≤;
∴實數(shù)a的取值范圍是﹣≤a≤.
故答案為:﹣≤a≤.
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【題目】已知曲線C1的參數(shù)方程是 (φ為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標系方程是 ,正方形ABCD的頂點都在C1上,且A,B,C,D依逆時針次序排列,點A的極坐標為 .
(1)求點A,B,C,D的直角坐標;
(2)設(shè)P為C2上任意一點,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最大值.
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【題目】已知數(shù)列{an}的通項公式an=5﹣n,其前n項和為Sn , 將數(shù)列{an}的前4項抽去其中一項后,剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項,記{bn}的前n項和為Tn , 若存在m∈N* , 使對任意n∈N* , 總有Sn<Tn+λ恒成立,則實數(shù)λ的取值范圍是( )
A.λ≥2
B.λ>3
C.λ≥3
D.λ>2
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【題目】設(shè)函數(shù),其中.已知.
(Ⅰ)求.
(Ⅱ)將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍(縱坐標不變),再將得到的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)的圖象,求在上的最小值.
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【題目】根據(jù)市場分析,某蔬菜加工點,當月產(chǎn)量為10噸至25噸時,月生產(chǎn)總成本(萬元)可以看出月產(chǎn)量(噸)的二次函數(shù),當月產(chǎn)量為10噸時,月生產(chǎn)成本為20萬元,當月產(chǎn)量為15噸時,月生產(chǎn)總成本最低至17.5萬元.
(I)寫出月生產(chǎn)總成本(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量噸的函數(shù)關(guān)系;
(II)已知該產(chǎn)品銷售價為每噸1.6萬元,那么月產(chǎn)量為多少噸時,可獲得最大利潤,并求出最大利潤.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(﹣1)=0,且c=1,求f (2)的值;
(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立,試求b的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】霧霾影響人們的身體健康,越來越多的人開始關(guān)心如何少產(chǎn)生霧霾,春節(jié)前夕,某市健康協(xié)會為了了解公眾對“適當甚至不燃放煙花爆竹”的態(tài)度,隨機采訪了50人,將凋查情況進行整理后制成下表:
年齡(歲) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75] |
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 4 | 6 | 12 | 7 | 3 | 3 |
(1)以贊同人數(shù)的頻率為概率,若再隨機采訪3人,求至少有1人持贊同態(tài)度的概率;
(2)若從年齡在[15,25),[25,35)的被調(diào)查者中各隨機選取兩人進行追蹤調(diào)查,記選中的4人中不贊同“適當甚至不燃放煙花爆竹”的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.
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