Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1,a_n+1=1-,b_n=，其中N∈N^*.

(1)求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列.

(2)求證：在數(shù)列{a_n}中對于任意的N∈N^*都有a_n+1＜a_n.

(3)設(shè)c_n=，試問數(shù)列{c_n}中是否存在三項(xiàng)它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？如果存在，求出這三項(xiàng)；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)證明:因?yàn)?I >b_n+1-b_n=-                                                           ?

=-=-=2(n∈N^*),?

所以數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列.                                                                                       ?

(2)證明:因?yàn)?I >a₁=1,所以b₁==2.?所以b_n=2+(n-1)×2=2n.?

由b_n=,得2a_n-1==(n∈N^*)，?所以a_n=.                                     ?

所以a_n+1-a_n=-=＜0.?

所以在數(shù)列{a_n}中對于任意的n∈N^*都有a_n+1＜a_n.                                                   ?

(3)解:c_n=()^b_n=2ⁿ,?

設(shè){c_n}中存在三項(xiàng)c_m,c_n,c_P(m＜n＜P,m,n,P∈N^*)成等差數(shù)列，?

則2·2ⁿ=2^m+2^P，所以2ⁿ⁺¹=2^m+2^P，                                                                           ?

2^n-m+1=1+2^P-m.                                                                                                          ?

因?yàn)?I >m＜n＜P,m,n,P∈N^*,所以n-m+1,P-m∈N^*.?

2^n-m+1為偶數(shù)，1+2^P-m為奇數(shù)，?所以2^n-m+1與1+2^P-m不可能相等.                                   ?

所以數(shù)列{c_n}中不存在可以構(gòu)成等差數(shù)列的三項(xiàng).