Question

（I）求函數(shù)的定義域；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）=的奇偶性
（3）證明函數(shù) f（x）= 在x∈[2，+∞）上是增函數(shù)，并求f（x）在[4，8]上的值域．

Answer 1

解：（Ⅰ）由得-1＜x≤，
∴求函數(shù)的定義域?yàn)椋簕  x|-1＜x≤}
（2）f（x）=x+為奇函數(shù)
證明：∵f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x），
∴f（x）=x+為奇函數(shù)．
（3）證明：設(shè)2＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x₁+-x₂-
=x₁-x₂-
=（x₁-x₂）（1-)
∵2＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，即0＜＜1．
∴1-＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是增函數(shù)．
由（1）知f（x）在[4，8]上是增函數(shù)
∴f（x）_max=f（8）=，f（x）_min=f（4）=5．
∴f（x）在[4，8]上的值域?yàn)閇5，]．
分析：（1）由可求得其定義域；
（2）由奇函數(shù)的定義f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x），可判斷f（x）為奇函數(shù)；
（3）利用單調(diào)函數(shù)的定義，設(shè)2＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）化積判斷符號(hào)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，著重考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的定義及其應(yīng)用，突出轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．