設數(shù)學公式，其中f（x）=lnx．
（Ⅰ）若g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍；
（Ⅱ）證明：f（x）≤x-1；
（Ⅲ）證明：數(shù)學公式．

解：（Ⅰ）∵（x＞0），
∴．（1分）
令h（x）=px2-2x+p，要使g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
只需h（x）在（0，+∞）上滿足：h（x）≥0恒成立，
即px2-2x+p≥0．即 上恒成立．
又∵，（4分）
∴p≥1．（5分）

（Ⅱ）證明：要證lnx≤x-1，
即證lnx-x+1≤0（x＞0），
設k（x）=lnx-x+1，．（6分）
當x∈（0，1]時，k'（x）＞0，∴k（x）為單調(diào)遞增函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，k'（x）＜0，∴k（x）為單調(diào)遞減函數(shù)；
∴k（x）max=k（1）=0．（9分）
即lnx-x+1≤0，∴l(xiāng)nx≤x-1．（10分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知lnx≤x-1，又x＞0，
∴．
∵n∈N*，n≥2，可令x=n2，得．（12分）
∴．
∴=
=
==．（14分）
分析：（Ⅰ）要使g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，它的導數(shù)大于0即可，即 上恒成立，利用
基本不等式求出的最大值，p應大于或等于此最大值．
（Ⅱ）只要證明k（x）=lnx-x+1≤0即可，利用它的導數(shù)求出函數(shù)k（x）的最大值為0，可以得出結(jié)論．
（Ⅲ）因為 lnx≤x-1，又x＞0，換元可得 ，即 ，利用此不等式
化簡要證的不等式的左邊，再用放縮法可證它小于不等式的右邊．
點評：本題考查利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值，以及利用放縮法證明不等式．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•紹興模擬）已知函數(shù)f(x)=e2x-2a
x
 
2
+2e2x，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（I）若函數(shù)f（x）在[1，2]上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（II）設曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線為l．試問：是否存在正實數(shù)a，使得函數(shù)y=f（x）的圖象被點P分割成的兩部分（除點P外）完全位于切線l的兩側(cè)？若存在，請求出a滿足的條件，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列命題：
①半徑為2，圓心角的弧度數(shù)為
1
2
的扇形的周長為5；    
②若向量
a
∥
b
且
b
∥
c
，則
a
∥
c

③設f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ�。╧∈Z）．則f（2012）+f（2013）=0．
④若直線l過點A（2，3），且垂直于向量a=（2，1），則其方程為2x+y-7=0
其中真命題的序號是
①③④
①③④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）若直線l過點（0，1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程；
（Ⅱ）設函數(shù)g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)數(shù)學公式，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（I）若函數(shù)f（x）在[1，2]上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（II）設曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線為l．試問：是否存在正實數(shù)a，使得函數(shù)y=f（x）的圖象被點P分割成的兩部分（除點P外）完全位于切線l的兩側(cè)？若存在，請求出a滿足的條件，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

  已知函數(shù)f（x）=（k為常數(shù)，e=2．71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點（l,f（l））處的切線與x軸平行．

  （Ⅰ）求k的值；

  （Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

  （Ⅲ）設g（x）=xf′（x），其中f′（x）為f（x）的導函數(shù)．證明：對任意0<x<1，g（x）<1 +e－2

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