Question

已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，a，b∈R，現(xiàn)有命題：“若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0”．
（1）寫出其逆命題，判斷其真假，并說明理由；
（2）寫出其否命題，判斷其真假，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）將命題的條件和結論互換，可得逆命題．再用函數(shù)f（x）的單調性，可證出f（a）≥f（-b）且f（b）≥f（-a），相加即得f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）；
（2）將命題的條件否定結論也否定，可得否命題．再用反證法結合（1）的正確性，可得它也是一個真命題．

解答：解：（1）逆命題：若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
這是一個真命題，證明如下
∵函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，且a+b≥0得a≥-b，
∴f（a）≥f（-b），同理可得f（b）≥f（-a）
將以上兩個不等式相加，可得f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
（2）否命題：若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），則a+b＜0．
這是一個真命題，證明如下
假設結論不成立，即a+b≥0，
則由（1）可得f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），與條件f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）矛盾．
所以結論a+b＜0成立，否命題也是一個真命題．

點評：本題以命題真假的判斷為例，考查了四種命題及其關系、函數(shù)的單調性和不等式的基本性質等知識，屬于基礎題．