Question

高三（1）班和高三（2）班各已選出3名學(xué)生組成代表隊(duì)，進(jìn)行乒乓球?qū)�抗賽，比賽�?guī)則是：①按“單打、雙打、單打”順序進(jìn)行三盤比賽；②代表隊(duì)中每名隊(duì)員至少參加一盤比賽，但不得參加兩盤單打比賽；③先勝兩盤的隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束．已知每盤比賽雙方勝出的概率均為

1

2

．
（Ⅰ）根據(jù)比賽規(guī)則，高三（1）班代表隊(duì)共可排出多少種不同的出場(chǎng)陣容？
（Ⅱ）高三（1）班代表隊(duì)連勝兩盤的概率為多少？
（Ⅲ）設(shè)高三（1）班代表隊(duì)獲勝的盤數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）本題要應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理，先排出參加單打的隊(duì)員，由于代表隊(duì)中每名隊(duì)員至少參加一盤比賽，但不得參加兩盤單打比賽，排出參加雙打的隊(duì)員，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
（2）高三（1）班代表隊(duì)連勝兩盤，可分為第一盤、第二盤勝或第一盤負(fù)，其余兩盤勝．根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和互斥事件的概率公式，得到結(jié)果．
（3）因?yàn)楦呷��?）班代表隊(duì)獲勝的盤數(shù)為ξ，由于先勝兩盤的隊(duì)獲勝比賽結(jié)束，得到變量的可能取值，類似于第二問得到概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知參加單打的隊(duì)員有A₃²種方法，參加雙打的隊(duì)員有C₂¹種方法．
∴根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到
高三（1）班出場(chǎng)陣容共有A₃²•C₂¹=12（種）．
（Ⅱ）高三（1）班代表隊(duì)連勝兩盤，可分為第一盤、第二盤勝或第一盤負(fù)，其余兩盤勝．
∴連勝兩盤的概率為

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

×

1

2

=

3

8

.
（Ⅲ）ξ的取值可能為0，1，2．
P(ξ=0)=

1

2

×

1

2

=

1

4

．
P(ξ=1)=

1

2

×

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

4

．
P(ξ=2)=

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

2

.
∴ξ的分布列為

∴Eξ=0×

1

4

+1×

1

4

+2×

1

2

=

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)綜合題，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．