Question

如下圖，已知△OFQ的面積為S，且·＝1，

(Ⅰ)若S滿足條件＜S＜2，求向量與的夾角θ的取值范圍；

(Ⅱ)設(shè)||＝c(c≥2)，S＝c，若以O為中心，F為焦點的橢圓經(jīng)過點Q，當||取得最小值時，求此橢圓的方程．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)∵·＝1，∴||·||·cosθ＝1． 　　又||·||·sin(180°－θ)＝S， 　　∴tanθ＝2S，S＝．　　3分 　　又＜S＜2，∴＜＜2，即1＜tanθ＜4， 　　∴＜θ＜arctan4．　　5分 　　(Ⅱ)以所在的直線為x軸，以的過O點的垂線為y軸建立直角坐標系(如圖)．　　6分 　　∴O(0，0)，F(c，0)，Q(x0，y0)． 　　設(shè)橢圓方程為＋＝1． 　　又·＝1，S＝c， 　　∴(c，0)·(x0－c，y0)＝1．① 　　·c·|y0|＝c．②8分 　　由①得c(x0－c)＝1x0＝c＋． 　　由②得|y0|＝． 　　∴||＝＝．　　10分 　　∵c≥2， 　　∴當c＝2時，||min＝＝， 　　此時Q(，±)，F(2，0)．　　12分 　　代入橢圓方程得 　　∴a2＝10，b2＝6．∴橢圓方程為．　　14分