Question

【題目】設(shè)，已知函數(shù)與函數(shù)有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和不大于，求的取值范圍_________。

Answer 1

【答案】.

【解析】

將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合函數(shù)的解析式分類討論即可確定的取值范圍.

原問題等價(jià)于:設(shè),已知函數(shù),且所有零點(diǎn)之和不大于,求的取值范圍.分類討論:

(1)a<0時(shí),當(dāng)x≤0時(shí),,,故在上單調(diào)遞減,

又,所以在上有一個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)時(shí),,其對稱軸為,

則在上單調(diào)遞增,

又,,

則在上有一個(gè)零點(diǎn),

,所以符合題意.

(2)當(dāng)時(shí),

①時(shí),當(dāng)時(shí),,

所以在上單調(diào)遞減,

,所以在上沒有零點(diǎn),

當(dāng)時(shí),,.

則在上沒有零點(diǎn),不符合題意;

②時(shí),當(dāng)時(shí),,

令可得,

又時(shí),單調(diào)遞減;

時(shí),單調(diào)遞增,

又,

則在上有極小值,

所以在上沒有零點(diǎn),

當(dāng)時(shí),,,

則在上沒有零點(diǎn),不符合題意;

③時(shí),.

當(dāng)時(shí),,令得,

又時(shí),單調(diào)遞減;

時(shí),單調(diào)遞增,

則在上有極小值,

則在上沒有零點(diǎn),

在上有一個(gè)零點(diǎn)為,滿足題意;

④a>4時(shí),

當(dāng)時(shí),,令可得,

又時(shí),單調(diào)遞減;

時(shí),單調(diào)遞增,

且,

則在上有極小值,

則在上沒有零點(diǎn),

時(shí),,其對稱軸,

,且,

根據(jù)韋達(dá)定理可判斷在上有兩個(gè)零點(diǎn),且兩根之和為,所以時(shí)符合題意.

綜上,的取值范圍為.