Question

如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A₁和CD D′C₁都是正方形．將兩個(gè)正方形分別沿AD，CD折起，使D′′與D′重合于點(diǎn)D₁．設(shè)直線l過點(diǎn)B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點(diǎn)E是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)D₁位于平面ABCD同側(cè)（圖2）．
（Ⅰ） 設(shè)二面角E-AC-D₁的大小為θ，若≤θ≤，求線段BE長的取值范圍；
（Ⅱ）在線段D₁E上存在點(diǎn)P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，求與BE之間滿足的關(guān)系式，并證明：當(dāng)0＜BE＜a時(shí)，恒有＜1．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)菱形ABCD的中心為O，以O(shè)為原點(diǎn)，對(duì)角線AC，BD所在直線分別為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系BE=t，分別求出平面D₁AC的法向量與平面EAC的法向量，代入向量夾角公式，并根據(jù)≤θ≤，構(gòu)造關(guān)于t的不等式，即可求出線段BE長的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)，分別求出平面PA₁C₁和平面EAC的法向量，并根據(jù)平面PA₁C₁∥平面EAC得到λ，a，t的關(guān)系式，結(jié)合0＜BE＜a，即可得到結(jié)論．
解答：解：設(shè)菱形ABCD的中心為O，以O(shè)為原點(diǎn)，對(duì)角線AC，BD所在直線分別為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖．
設(shè)BE=t（t＞0）．
（Ⅰ）．，
設(shè)平面D₁AC的法向量為，則
∴．（3分）
，
設(shè)平面EAC的法向量為，
則∴．（4分）
設(shè)二面角E-AC-D₁的大小為θ，則，（6分）
∵cosθ∈，∴，
解得≤t≤．所以BE的取值范圍是[，]．（8分）
（Ⅱ）設(shè)，則．∵，∴．
由平面PA₁C₁∥平面EAC，得A₁P∥平面EAC，∴．∴，化簡(jiǎn)得：（t≠a），即所求關(guān)系式：=（BE≠a）．
∴當(dāng)0＜t＜a時(shí)，＜1．即：當(dāng)0＜BE＜a時(shí)，恒有＜1．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，平面與平面平行的性質(zhì)，與二面角有關(guān)的立體幾何綜合問題，向量語言表述面面的平行關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將空間二面角問題及面面平行問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．