Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足

x≤3 x-y+2≥0 x+y-4≥0

，則x²+y²的取值范圍是

[8，34]

．

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，設(shè)P（x，y），可得x²+y²=|OP|²表示O、P兩點(diǎn)距離的平方之值，因此運(yùn)動點(diǎn)P并加以觀察可得|OP|的最大、最小值，即可得到x²+y²的范圍．

解答：解：作出不等式組

x≤3 x-y+2≥0 x+y-4≥0

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，
其中A（3，5），B（3，1），C（1，3）
設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)一個動點(diǎn)
則|OP|=

x2+y2

，
因此x²+y²=|OP|²表示O、P兩點(diǎn)距離的平方之值
∵當(dāng)P與A重合時|OP|=

32+52

=

34

達(dá)到最大值，
當(dāng)P與原點(diǎn)O在BC上的射影D重合量，|OP|=

|0+0-4|

1+1

=2

2

達(dá)到最小值
∴|OP|²的最小值為8，最大值為34，即x²+y²的取值范圍是[8，34]
故答案為：[8，34]

點(diǎn)評：本題給出二元一次不等式組，求x²+y²的取值范圍，著重考查了兩點(diǎn)的距離公式、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題．