【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,PA平面ABCD,EB//PA,AB=PA=4,EB=2,F(xiàn)為PD的中點(diǎn).
(1)求證AFPC
(2)BD//平面PEC
(3)求二面角D-PC-E的大小
【答案】(1)見解析; (2)見解析; (3)150°.
【解析】
(1)依題意,PA⊥平面ABCD.以A為原點(diǎn),分別以、、的方向?yàn)?/span>x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明AF⊥PC.
(2)取PC的中點(diǎn)M,連接EM.推導(dǎo)出BD∥EM,由此能證明BD∥平面PEC.
(3)由AF⊥PD,AF⊥PC,得AF⊥平面PCD,求出平面PCD的一個(gè)法向量和平面PCE的法向量,利用向量法能求出二面角D﹣PC﹣E的大小.
(1)依題意,平面ABCD,如圖,以A為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。
依題意,可得
A(0,0,0),B(0,4,0),C(4,4,0),D(4,0,0),
P(0,0,4),E(0,4,2),F(xiàn)(2,0,2)
∵,,
∴,∴..
(2)取PC的中點(diǎn)M,連接EM.
∵,,
∴,∴.
∵平面PEC,平面PEC,
∴BD//平面PEC.
(3)因?yàn)?/span>AF⊥PD,AF⊥PC,PD∩PC=P,
所以AF⊥平面PCD,故為平面PCD的一個(gè)法向量.
設(shè)平面PCE的法向量為,
因?yàn)?/span>,,
所以即
令y=﹣1,得x=﹣1,z=﹣2,故.
所以,
所以二面角D﹣PC﹣E的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1) 求的單調(diào)區(qū)間;
(2) 討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱長(zhǎng)均為4的三棱柱中, 分別是和的中點(diǎn).
(1)求證: 平面
(2)若平面平面,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 25 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合計(jì) | M | 1 |
(1)求出表中M,p及圖中a的值;
(2)若該校高一學(xué)生有360人,試估計(jì)該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[15,20)內(nèi)的人數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,請(qǐng)列舉出所有基本事件,并求至多1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20,25)內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),圓,點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn), 的垂直平分線與交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,過點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,證明直線過定點(diǎn),并求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在各棱長(zhǎng)均為的三棱柱中,側(cè)面底面, .
(1)求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小;
(2)已知點(diǎn)滿足,在直線上是否存在點(diǎn),使平面?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)的位置,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 (,且為常數(shù)).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間內(nèi),存在且時(shí),使不等式成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,底面.
(1)求證:平面;
(2)若,直線與平面所成的角為,求四棱錐的體積.
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