Question

已知數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+a_n=

n2+3n+5

2

．
（1）證明：數(shù)列{a_n-n}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=S_n+

5

2n+1

-

5

2

，T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）由題意知當(dāng)n=1時(shí)，2a1=

1+3+5

2

?a₁=

9

4

，a₁-1=

5

4

，n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1，得2a_n-a_n-1=n+1，即可證明結(jié)論；
（2）先由（1）求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式并整理成b_n=

n2+n

2

，從而

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，然后利用列項(xiàng)求和求出Tn=2（1-

1

n+1

），求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和 T_n＜2．

解答：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，
2a1=

1+3+5

2

?a₁=

9

4

，a₁-1=

5

4

當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+a_n=

n2+3n+5

2

    ①
S_n-1+a_n-1=

(n-1)2+3(n-1)+5

2

   ②
①-②得2a_n-a_n-1=n+1
∴2a_n=a_n-1+（n+1）
即2a_n-2n=a_n-1-（n-1），2（a_n-n）=a_n-1-（n-1），
即

an-n

an-1- (n-1)

=

1

2

∴數(shù)列數(shù)列{a_n-n}是以

5

4

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）得a_n-n=

5

4

•(

1

2

)n-1
∴a_n=n+

5

4

•(

1

2

)n-1
∴S_n=

n2+3n+5

2

-n-

5

2n+1

=

n2+n+5

2

-

5

2n+1

∴b_n=S_n+

5

2n+1

-

5

2

=

n2+n

2

∴

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

- 

1

n+1

 )
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）

=2（1-

1

n+1

）＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的判定，此題采取裂項(xiàng)的方法求和，考查分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，屬于難題．