Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為1，過點M（3，0）的直線與橢圓C相交于兩點A，B，
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標(biāo)原點），當(dāng)|

PA

-

PB

|＜

3

時，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用離心率求得a和c關(guān)系，進而利用橢圓方程中a，b和c的關(guān)系求得a和b的關(guān)系，最后利用過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長求得b，則a可求得，橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出A，B，P的坐標(biāo)和AB的直線方程與橢圓的方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0求得k的范圍，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用

OA

+

OB

=t

OP

求得k和t的關(guān)系，把點P坐標(biāo)代入橢圓的方程，利用|

PA

-

PB

|＜

3

求得k的范圍，進而利用k和t的關(guān)系求得t的范圍．

解答：解：（1）由已知e=

c

a

=

3

2

，所以

c2

a2

=

3

4

，
所以a²=4b²，c²=3b²所以

x2

4b2

+

y2

b2

=1
又由過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為

2b2

a

=1
所以b=1
所以

x2

4

+y2=1
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
設(shè)AB：y=k（x-3）與橢圓聯(lián)立得

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

整理得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，△=24²k⁴-16（9k²-1）（1+4k²）＞0得k2＜

1

5

x1+x2=

24k2

1+4k2

，x1•x2=

36k2-4

1+4k2

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=t(x，y)x=

1

t

(x1+x2)=

24k2

t(1+4k2)

y=

1

t

(y1+y2)=

1

t

[k(x1+x2)-6k]=

-6k

t(1+4k2)

由點P在橢圓上得

(24k2)2

t2(1+4k2)2

+

144k2

t2(1+4k2)2

=4，36k²=t²（1+4k²）
又由|

PA

-

PB

|＜

3

，即|BA|＜

3

所以|AB|=

1+k2

|x1-x2|＜

3

所以（1+k²）（x₁-x₂）²＜3（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]＜3（1+k²）[

242k4

(1+4k2)2

-

4(36k2-4)

1+4k2

]＜3
整理得：（8k²-1）（16k²+13）＞0
所以8k2-1＞0，k2＞

1

8

所以

1

8

＜k2＜

1

5

由36k²=t²（1+4k²）得t2=

36k2

1+4k2

=9-

9

1+4k2

所以3＜t²＜4，所以-2＜t＜-

3

或

3

＜t＜2．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的過程一般是把直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用韋達定理和判別式來作為解題的關(guān)鍵．