已知A、B、C是橢圓W：上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積.

(II)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說(shuō)明理由.

 

【答案】

(I)  (II) 不可能是菱形

【解析】利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合圖形完成第(I)小題.設(shè)出直線方程，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，設(shè)而不求，結(jié)合菱形的特點(diǎn)進(jìn)行判斷.

(I) 橢圓W：的右頂點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，所以和互相垂直平分.

所以可設(shè)，代入橢圓方程得，解得.

所以菱形OABC的面積為.

(II)假設(shè)四邊形OABC為菱形.

因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且直線AC不過(guò)原點(diǎn)，所以可設(shè)AC的方程為y=kx+m,k≠0,m≠0..

由消去y并整理得.

設(shè),則，，

所以AC的中點(diǎn).

因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，所以直線OB的斜率為.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081612483344796269/SYS201308161249468886362972_DA.files/image016.png">，所以AC和OB不垂直.

所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾.

所以當(dāng)B不是W的頂點(diǎn)，四邊形OABC不可能是菱形.

【考點(diǎn)定位】本題考查了橢圓的性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系.通過(guò)整體代換，設(shè)而不求，考查了數(shù)據(jù)處理能力和整體思想的應(yīng)用.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A、B、C是橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2
3
，0)，BC過(guò)橢圓M的中心，且
AC
•
BC
=0，|
BC
|=2|
AC
|．
（1）求橢圓M的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（0，t）的直線l（斜率存在時(shí)）與橢圓M交于兩點(diǎn)P、Q，設(shè)D為橢圓M與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且|
DP
|=|
DQ
|，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知A，B，C是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2
3
，0)，BC過(guò)橢圓的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；
（Ⅱ）若橢圓E上存在兩點(diǎn)P，Q，使得∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，試判斷向量
PQ
與
AB
是否共線，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A，B，C是橢圓m：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2
3
，0），BC過(guò)橢圓m的中心，且
AC
•
BC
=0，且|
BC
|=2|
AC
|．
（1）求橢圓m的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M（0，t）的直線l（斜率存在時(shí)）與橢圓m交于兩點(diǎn)P，Q，設(shè)D為橢圓m與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且|
DP
|=|
DQ
|．求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知A、B、C是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的三點(diǎn)，，BC過(guò)橢圓的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．則橢圓的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•北京）已知A，B，C是橢圓W：
x24
+y2=1上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說(shuō)明理由．

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