Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面邊長(zhǎng)AB=2，AB₁⊥BC₁，點(diǎn)O、O₁分別是邊AC，A₁C₁的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
（1）求正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；
（2）若M為BC₁的中點(diǎn)，試用基向量

AA1

、

AB

、

AC

表示向量

AM

；
（3）求異面直線AM與BC所成角．

Answer 1

分析：（1）利用坐標(biāo)表示點(diǎn)，進(jìn)而表示向量，借助于AB₁⊥BC₁，可建立方程，從而可求正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；
（2）利用M為BC₁的中點(diǎn)，可得

AM

=

1

2

(

AC1

+

AB

)，從而可解；
（3）先求

BC

，

AM

的坐標(biāo)，利用其數(shù)量積，可求異面直線AM與BC所成角．

解答：解：（1）設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為b，則A（0，-1，0），B₁（

3

，0，b），B（

3

，0，0），C₁（0，1，b）

AB1

={

3

，1，b}，

BC1

={-

3

，1，b}          …3 分
∵AB₁⊥BC₁∴-3+1+b²=0，b=

2

…（5分）
（2）∵M(jìn)為BC₁的中點(diǎn)，
∴

AM

=

1

2

(

AC1

+

AB

) =

1

2

(

AA1

+

AB

+

AC

)…（8分）
（3）設(shè)異面直線AM與BC所成角為α，

BC

=(-

3

，1，0)，

AM

=(

3

2

，

3

2

，

2

2

)…（10分）

BC

•

AM

=-

3

2

+

3

2

+0=0，∴α=90°…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是用空間向量求直線間的夾角與距離，主要考查用坐標(biāo)表示向量，考查異面直線AM與BC所成角，關(guān)鍵是用坐標(biāo)表示向量