Question

如圖2-6,已知P是直徑AB延長線上的一點(diǎn),割線PCD交⊙O于C、D兩點(diǎn),弦DF⊥AB于點(diǎn)H,CF交AB于點(diǎn)E.

(1)求證:PA·PB=PO·PE;

(2)若DE⊥CF,∠P=15°,⊙O的半徑為2,求CF的長.

圖2-6

Answer 1

思路分析:由PA·PB立刻想起割線定理.只需證PC·PD=PO·PE.

(1)證明:連結(jié)OD.

∵DF⊥AB,∴=.

又∠AOD度數(shù)等于度數(shù)的一半,∠DCF度數(shù)等于度數(shù)的一半,

∴∠AOD=∠DCF.

∴180°-∠AOD=180°-∠DCF.

∴∠POD=∠PCE,∠P為公共角.

∴△PCE∽△POD.∴.

∴PC·PD=PO·PE.

由割線定理PC·PD=PA·PB,

∴PA·PB=PO·PE.

(2)解析:∵AB⊥DF,∴DE=EF.

∵DE⊥CF,∴△DEF為等腰直角三角形.

∴∠F=∠FEH=∠HDE=45°.

∵∠P=15°,∴∠DCF=∠P+∠CEP

=15°+45°=60°.

∴∠DOH=60°.

在Rt△ODH中,DH=OD·sin∠DOH=2·sin60°=.

在Rt△DHE中,DE=.

在Rt△CDE中,∠DCE=60°,

∴EC=DE·cot60°=.

∴CF=EF+CE=.