Question

【題目】某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬(wàn)元到1000萬(wàn)元的投資收益．現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨投資收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過9萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過投資收益的20%．
（1）若建立函數(shù)y=f（x）模型制定獎(jiǎng)勵(lì)方案，試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述該公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)f（x）模型的基本要求，并分析函數(shù)y= 是否符合公司要求的獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，并說明原因；
（2）若該公司采用模型函數(shù)y= 作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=f（x），則公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是：

當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①f（x）是增函數(shù)；②f（x）≤9恒成立；③f（x）≤ 恒成立．

對(duì)于函數(shù)模型f（x）= ：當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，f（x）是增函數(shù)，則f（x）max=f（1000）= +2= +2＜9

所以f（x）≤9恒成立．

因?yàn)閤=10時(shí)，f（10）= ，所以，f（x）≤ 不恒成立．

故該函數(shù)模型不符合公司要求

（2）解：對(duì)于函數(shù)模型f（x）= ，即f（x）=10﹣

當(dāng)3a+20＞0，即a＞﹣ 時(shí)遞增，

為要使f（x）≤9對(duì)x∈[10，1000]時(shí)恒成立，即f（1000）≤9

∴3a+18≥1000，∴a

為要使f（x）≤ 對(duì)x∈[10，1000]時(shí)恒成立，即 ，∴x2﹣48x+15a≥0恒成立，∴a

綜上，a ，所以滿足條件的最小的正整數(shù)a的值為328

【解析】（1）設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=f（x），根據(jù)獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨投資收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，說明在定義域上是增函數(shù)，且獎(jiǎng)金不超過9萬(wàn)元，即f（x）≤9，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過投資收益的20%，即f（x）≤ ．對(duì)于函數(shù)模型，由一次函數(shù)的性質(zhì)研究，是否滿足第一，二兩個(gè)條件，利用反例研究是否滿足第三個(gè)條件；（2）對(duì)于函數(shù)模型f（x）= ，即f（x）=10﹣ 當(dāng)3a+20＞0，即a＞﹣ 時(shí)遞增，利用f（1000）≤9， ，即可確定a的范圍，從而可求滿足條件的最小的正整數(shù)a的值．