Question

（本題滿分14分）

已知函數(shù)

（I）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（II）令，是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)（是自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)的最小值

是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明：．

 

Answer 1

【答案】

（I）  ；

（II）存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有最小值3．

（III）見解析

【解析】(I)本小題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題.

(II)本小題屬于存在性問題，可設(shè)假設(shè)存在，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其最小值，根據(jù)最小值3,建立關(guān)于a的方程，從而解出a值.

(III) 令，由（II）知．然后令，再利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，令其最大值小于F（x）的最小值即可.

解：（I）在上恒成立，…………1分

令，有  得   ………………4分

得                                       ………………5分

（II） 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使， 有最小值3，

           ………………6分

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

，（舍去），………………7分

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

，，滿足條件．………………8分

③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

，（舍去），………………9分

綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有最小值3． ………………10分

（3）令，由（II）知．………………11分

令，，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增 

∴     ………………13分

 即．………………14分