【題目】如圖，垂直圓O所在的平面，是圓O的一條直徑，C為圓周上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，D為弦的中點(diǎn)，.

（1）證明：平面平面；

（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)垂直圓O所在的平面，有，易證.由線面垂直的判定定理得到平面，然后由面面垂直的判定定理證明.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面，平面的一個(gè)法向量，代入二面角的向量公式求解.

（1）證明：因?yàn)?/span>垂直圓O所在的平面，所以，

因?yàn)?/span>D為弦的中點(diǎn)，O為圓O的圓心，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）如圖所示：

以O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.

則

從而

設(shè)平面的法向量為，

則，即

令，得.

由（1）可得平面的一個(gè)法向量為

則平面與平面所成銳二面角的余弦值為

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2020年元旦期間游客購(gòu)買土特產(chǎn)的情況，對(duì)2019年元旦期間的90位游客購(gòu)買情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表.

購(gòu)買金額（元）

人數(shù)

10

15

20

15

20

10

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買金額是否少于60元與性別有關(guān).

不少于60元

少于60元

合計(jì)

男

40

女

18

合計(jì)

（2）為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案，購(gòu)買金額不少于60元可抽獎(jiǎng)3次，每次中獎(jiǎng)概率為（每次抽獎(jiǎng)互不影響，且的值等于人數(shù)分布表中購(gòu)買金額不少于60元的頻率），中獎(jiǎng)1次減5元，中獎(jiǎng)2次減10元，中獎(jiǎng)3次減15元.若游客甲計(jì)劃購(gòu)買80元的土特產(chǎn)，請(qǐng)列出實(shí)際付款數(shù)（元）的分布列并求其數(shù)學(xué)期望.

附：參考公式和數(shù)據(jù)：，.

附表：

2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

0.150

0.100

0.050

0.010

0.005

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“總把新桃換舊符”（王安石）、“燈前小草寫桃符”（陸游），春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，在宋代人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現(xiàn)代人們通過貼“�！弊帧①N春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達(dá)對(duì)新年的美好祝愿，某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動(dòng)，顧客凡購(gòu)物金額滿50元，則可以從“�！弊�、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費(fèi)領(lǐng)取一件，若有4名顧客都領(lǐng)取一件禮品，則他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠，兩條相互獨(dú)立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，在產(chǎn)量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知，生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為和.

（1）從，生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.

（2）假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進(jìn)行返工修復(fù)為合格品，以（1）中確定的作為的值.

①已知，生產(chǎn)線的不合格產(chǎn)品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回?fù)p失元和元。若從兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽檢件產(chǎn)品，以挽回?fù)p失的平均數(shù)為判斷依據(jù)，估計(jì)哪條生產(chǎn)線挽回的損失較多？

②若最終的合格品（包括返工修復(fù)后的合格品）按照一、二、三等級(jí)分類后，每件分別獲利元、元、元，現(xiàn)從，生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機(jī)抽取件進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下圖；用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為，求的分布列并估算該廠產(chǎn)量件時(shí)利潤(rùn)的期望值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）將與的方程化為極坐標(biāo)方程；

（2）若曲線與的公共點(diǎn)都在上，，求r.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某手機(jī)商家為了更好地制定手機(jī)銷售策略，隨機(jī)對(duì)顧客進(jìn)行了一次更換手機(jī)時(shí)間間隔的調(diào)查.從更換手機(jī)的時(shí)間間隔不少于3個(gè)月且不超過24個(gè)月的顧客中選取350名作為調(diào)查對(duì)象，其中男性顧客和女性顧客的比為，商家認(rèn)為一年以內(nèi)（含一年）更換手機(jī)為頻繁更換手機(jī)，否則視為未頻繁更換手機(jī).現(xiàn)按照性別采用分層抽樣的方法從中抽取105人，并按性別分為兩組，得到如下表所示的頻數(shù)分布表：

事件間隔（月）

男性

x

8

9

18

12

8

4

女性

y

2

5

13

11

7

2

（1）計(jì)算表格中x，y的值；

（2）若以頻率作為概率，從已抽取的105且更換手機(jī)時(shí)間間隔為3至6個(gè)月（含3個(gè)月和6個(gè)月）的顧客中，隨機(jī)抽取2人，求這2人均為男性的概率；

（3）請(qǐng)根據(jù)頻率分布表填寫列聯(lián)表，并判斷是否有以上的把握認(rèn)為“頻繁更換手機(jī)與性別有關(guān)”.

頻繁更換手機(jī)

未頻繁更換手機(jī)

合計(jì)

男性顧客

女性顧客

合計(jì)

附表及公式：

P（）

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）若對(duì)于任意的，都存在唯一的，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)A是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作直線，，線段的垂直平分線與交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若點(diǎn)，是直線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且的內(nèi)切圓方程為，直線的斜率為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝（k＋）lnx＋，k∈[4，＋∞），曲線y＝f（x）上總存在兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），使曲線y＝f（x）在M，N兩點(diǎn)處的切線互相平行，則x1＋x2的取值范圍為

A. （，＋∞） B. （，＋∞） C. [，＋∞） D. [，＋∞）

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