Question

如圖，已知A₁，A₂分別為橢圓的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的下焦點(diǎn)，P為橢圓上異于A₁，A₂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)A₁P，A₂P分別交直線(xiàn)l：y=m（m＜-2）于M，N點(diǎn)
（1）當(dāng)點(diǎn)P位于y軸右側(cè)，且PF∥l時(shí)，求直線(xiàn)A₁M的方程；
（2）是否存在m值，使得以MN為直徑的圓過(guò)F點(diǎn)？若存在加以證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）由（2）問(wèn)所得m值，求線(xiàn)段MN最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）PF∥l時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為P（）．由A₁（0，-2）．能求出直線(xiàn)A₁M方程
（2）設(shè)A₁M：y=k₁x-2，由，得M（，m），=（，m+1）．設(shè)A₂N：y=k₂x+2，由，得N（，m），=（，m+1）．若以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)F，則，由此能求出m=-4．
（3）由m=-4，知M（-，-4），N（），所以|MN|=6，由此能求出|MN|最小值．
解答：解：（1）∵橢圓的下焦點(diǎn)F（0，-1），
點(diǎn)P在橢圓上，且點(diǎn)P位于y軸右側(cè)，
∴PF∥l時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，-1），（x＞0），
把P（x，-1）（x＞0）代入橢圓，
得，
解得x=，∴P（）．
∵A₁為橢圓的下頂點(diǎn)，
∴A₁（0，-2）．
∴直線(xiàn)A₁M方程：，
即2x-3y-6=0．（3分）
（2）∵A₁，A₂分別為橢圓的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，
∴A₁（0，-2），A₂（0，2），
設(shè)A₁M：y=k₁x-2，由，得M（，m），
∴=（，m+1）．
設(shè)A₂N：y=k₂x+2，由，得N（，m），
∴=（，m+1）．
若以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)F，則，
得．（5分）
∵．（7分）
∴，
∴m=-4．（9分）
（3）∵m=-4，
∴M（-，-4），N（），
∴
∴|MN|=6，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
|MN|最小值為6．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．