Question

已知、分別是直線和上的兩個動點，線段的長為，是的中點．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點任意作直線（與軸不垂直），設(shè)與（1）中軌跡交于兩點，與軸交于點．若，，證明：為定值．

 

Answer 1

【答案】

（1）．    （2）．       

【解析】（1）本小題屬于相關(guān)點法求軌跡方程，設(shè)，然后再設(shè)出相關(guān)動點，,根據(jù)P是線段AB的中點，以及,可以消去，得到x,y的普通方程.

(2)設(shè)出直線的方程為,再設(shè)、、，然后直線方程與橢圓C的方程聯(lián)立，根據(jù)，可找到,,同理,則,然后再利用韋達定理證明

（1）設(shè)，，

∵是線段的中點，∴                         ………2分

∵分別是直線和上的點，∴和．

∴                               …………4分

又，∴．                  …………5分

∴，∴動點的軌跡的方程為．      …………8分

（2）依題意，直線的斜率存在，故可設(shè)直線的方程為．

設(shè)、、，

則兩點坐標滿足方程組

消去并整理，得，          …………10分

∴， ①    ．    ②            ………12分

∵，∴．

即∴．∵與軸不垂直，∴，

∴，同理．                           ………14分

∴．

將①②代入上式可得